【回折結晶学】ステレオ投影図

【1】東京工業大学大学院 物質理工学院の授業の復習です。

【2】自身の勉強のためのものであり、間違いがある場合があります。

ステレオ投影図

1-1. ステレオ投影で対称性を示す方法(図の解釈不安)

　ステレオ投影図とは、結晶や分子に対称操作を施した結果を2次元に可視化できる。以下に約束事を示す。

・単位球の中心に結晶や分子を置く(図には描いていない)

・+Z半球内のある点(例：点P)と南極(S)を結ぶ直線がxy平面と交わる点をステレオ投影(例：点P')とする。

・-Z半球内のある点(例：点Q)の場合は北極(N)を用いる(例：点Q')。

・通常、+Z軸方向から観測し、+Z半球内の投影点であれば○、-Z半球内の投影点であれば●でxy平面に記述する。

参考文献

・Burns[著] 寺内ら[訳], 結晶としての固体, 東海大学出版会, (1998)

1-2. ステレオ投影で対称性を表す際に用いる記号

　ステレオ投影で対称性を表す際に用いる主な記号を以下に示す(一部)。

※もっと知りたい場合は参考文献からURLを踏んでみてください。

参考文献

・Advanced Certificate in Powder Diffraction on the Web, Symmetry Symbols, Accessed:2022/06/28

1-3. 実際にステレオ投影を用いて対称性を表記してみる。

1-3-1. 水分子の対称性

　H₂O分子は以下に示すような対称性を有する。すなわち記号で表記するとE(1), C₂(2), 2σ_v(m)の4つである。

位置1を出発位置とすると、E(1)では位置が変わらないため位置1のままとなる。位置1にC₂(2)を行うと位置2に移動する。位置1にσ_v(m)を行うと位置3になる。また位置1にもう一方のσ_v(m)を行うと位置4になる。

1-3-2. E, C₄, C₂, C₄³,2C₂', 2C₂'', i, S₄, S₄³, σ_h, 2σ_v, 2σ_d, を記述する(ちょっと不安)

位置1を出発点として、各操作を行った際のステレオ投影図を以下に示す。ここで、C₂'の回転軸はσ_v面内、C₂''の回転軸はσ_d面内にあるとする(ともにxy平面内にある)。

・E：位置1から何もしないため。位置1のまま。

・C₄：位置1から主軸(4回回転軸)を基準に90度だけ反時計回りする。

・C₂：位置1から主軸(4回回転軸)を基準に180度だけ反時計回りする。

・C₄³：位置1から主軸(4回回転軸)を基準に90度×3だけ反時計回りする。

・C₂'：位置1からσ_v面を通る回転軸を基準に180度だけ反時計回りする。σ_v面でxy平面を通るということは、主軸と垂直であるため、回転することで+Z半球の点(位置1)から-Z半球の点となる。

・C₂''：位置1からσ_d面を通る回転軸を基準に180度だけ反時計回りする。σ_d面でxy平面を通るということは、主軸と垂直であるため、回転することで+Z半球の点(位置1)から-Z半球の点となる。

・i：位置1を反転させると、左右上下前後が反対になる。

・S₄：位置1から主軸(4回回転軸)を基準に90度だけ反時計回りした後、σ_h面を鏡映面として対称移動させる。

・S₄³：位置1から主軸(4回回転軸)を基準に90度だけ反時計回りした後、σ_h面を鏡映面として対称移動させる。これを3回繰り返す。

・σ_h：σ_h面を鏡映面として対称移動させる。

・σ_v：σ_v面を鏡映面として対称移動させる。鏡映面は主軸を含む面であるから、主軸に垂直に対称移動するはず。そのため+Z半球から-Z半球への移動はないと思う。

・σ_d：σ_d面を鏡映面として対称移動させる。鏡映面は主軸を含む面であるから、主軸に垂直に対称移動するはず。そのため+Z半球から-Z半球への移動はないと思う。

※私が不安に感じているのはσ_vとC₂'およびσ_dとC₂''の位置関係です。多分あってると思いますが…。